Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，点E、F分别是PC、AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角．

Answer

（1）由已知中PB⊥底面ABC于B，，∠BCA=90°，我们易根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线AE与BF的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
【解析】
（1）∵PB⊥平面ABC∴平面PBC⊥平面ABC…（3分）
又∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面PBC…（6分）
∴侧面PAC⊥侧面PBC…（7分）
（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线为y轴，
建立空间直角坐标系，由已知可得
P（0，0，2），B（0，0，0），
C（0，-2，0）A（2，-2，0）
则E（0，-1，1），F（1，-1，1）⋅⋅⋅⋅⋅（10分）
=（-2，1，1），=（1，-1，1）

∴cos⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（13分）
即AE与BF所成的角是arccos⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（14分）