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三棱锥P-ABC中,AP=AC,PB=2,将此三棱锥沿三条侧棱剪开,其展开图是一...

三棱锥P-ABC中,AP=AC,PB=2,将此三棱锥沿三条侧棱剪开,其展开图是一个直角梯形p1p2p3A,如图.manfen5.com 满分网
(1)求证:PB⊥AC
(2)求PB与面ABC所成角的大小.
(3)(只理科做)求三棱锥P-ABC外接球的面积.
(1)先证明BP⊥平面PAC,观察展开图发现P1B⊥P1A,P2B⊥P2C,故BP⊥PC,BP⊥PA;再证明PB⊥AC,利用线面垂直的定义即可 (2)先求三棱锥的棱长AP,AC,PC,利用展开图,再作出线面角的平面角,即作PO⊥平面ABC,连接BO交AC于D,连接PD,则∠PBO为PB与面ABC所成角,最后在△PAC中计算∠PBO即可 (3)先计算△PAC的外接圆直径,利用平面几何知识即可,再证明BM为球的直径,设△PAC的外接圆圆心为Q,球心为O.连接PQ并延长交球面于M,连BM,OQ,因为BP⊥平面PAC,OQ⊥平面PAC,所以BP∥OQ,从而平面BPM是球的一个大圆,BM为球的直径,最后在△BPM中计算球的直径BM的长,进而求球的表面积 【解析】 (1)证明:由展开图知:P1B⊥P1A,P2B⊥P2C ∴BP⊥PC,BP⊥PA,∴BP⊥平面PAC ∵AC⊂平面PAC,∴PB⊥AC (2)设PA=AC=AP3=x,P3C=y 作AE⊥CP3,则E为CP3的中点 ∴x2-=16,且x=y+,解得 x=3,y=2 即PA=AC=3,PC=2 作PO⊥平面ABC,连接BO交AC于D,连接PD ∴∠PBO为PB与面ABC所成角 ∵BP⊥平面PAC,易证AC⊥BD,AC⊥PD 在△PAC中, ×2×4=×3×PD ∴PD= ∴tan∠PBO==, ∴∠PBO=arctan (3)设△PAC的外接圆圆心为Q,球心为O.连接PQ并延长交球面于M,连BM,OQ ∵BP⊥平面PAC,OQ⊥平面PAC,∴BP∥OQ ∴平面BPM是球的一个大圆 在△BPM中,BP=2,PM= ∴BM==,∴球半径R= ∴球的表面积S=4πR2=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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