(1)令n=1,可求出a2,根据nan+1=Sn+n(n+1)可得当n≥2时,有(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减可an+1-an=2,验证当n=1时,是否成立,从而得到数列{an}是等差数列,从而求出{an}的通项公式;
(2)由(1)得Sn,从而求出Tn,然后求出Tn+1与Tn-1,然后求出满足的n,从而可知求出正整数m对一切正整数n,总有Tn≤Tm.
【解析】
(1)令n=1,由a1=2及nan+1=Sn+n(n+1)①
得a2=4,故a2-a1=2,当n≥2时,有(n-1)an=Sn-1+n(n-1)②
①-②得:nan+1-(n-1)an=an+2n
整理得,an+1-an=2(n≥2)
当n=1时,a2-a1=2,
所以数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差数列,
故an=2n…(6分)
(2)由(1)得Sn=n(n+1),
所以.
故,
令,即
解得8≤n≤9.
故T1<T2<…<T8=T9>T10>T11>…
故存在正整数m对一切正整数n,
总有Tn≤Tm,此时m=8或m=9…..(13分)