Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，根据椭圆的定义可得2a=4，即a=2．利用点A（1，）在椭圆上，可求得b2=3，从而可求椭圆C的方程；
（2）先利用中点坐标公式求得动点与F1K之间坐标关系，利用动点在椭圆上，可求中点的轨迹方程．
（3）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知 -=1、又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
【解析】
（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．
又点A（1，）在椭圆上，因此b2=3，于是c2=1．
所以椭圆C的方程为，焦点F1（-1，0），F2（1，0）．
（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y），∴x1=2x+1，y1=2y．
因此．即为所求的轨迹方程．
（3）类似的性质为若MN是双曲线 -=1上关于原点对称的两个点，
点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，
并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），
其中 -=1、又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM•kPN=•=，
将y2=x2-b2，n2=m2-b2，代入得kPM•kPN=．