Question

设a、b为常数，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一点（a，b）映射为函数acosx+bsinx．
（1）证明：对F不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当f（x）∈M时，f₁（x）=f（x+t）∈M，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值f（x），得M₁={f（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下点（m，n）的象属于M₁，问：由所有符合条件的点（m，n）构成的图形是什么？

Answer

（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．特别令x=0，得a=c；令x=，得b=d．这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f（x）∈M时，可得常数aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，f1（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．由此能够证明f1（x）=f（x+t）∈M．
（3）设f（x）∈M，由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），则M1的原象是{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，消去t得m2+n2=a2+b2，由此能得到有符合条件的点（m，n）构成的图形是圆．
【解析】
（1）证明：假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，
即F（a，b）=acosx+bsinx与F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立．
特别令x=0，得a=c；
令x=，得b=d．
这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，
假设不成立．
故不存在两个不同点对应同函数．
（2）当f（x）∈M时，
可得常数aa，b，使f（x）=acosx+bsinx，
f1（x）=f（x+t）=acos（x+t）+bsin（x+t）
=（acost+bsint）+（bcost-asint）sinx．
由于a，b，t为常数，
设acost+bsint=m，bcost-asint=n，
则m，n是常数．
从而f1（x）=f（x+t）∈M．
（3）设f（x）∈M，
由此得f（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=acost+bsint，n=bcost-asint）
在映射F下，f（x+t）的原象是（m，n），
则M1的原象是
{（m，n）|m=acost+bsint，n=bcost-asint，t∈R}，
消去t得m2+n2=a2+b2，
即在映射F下，M1的原象{（m，n）|m2+n2=a2+b2}是以原点为圆心，为半径的圆．