Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
（I） 证明：|c|≤1；
（II）证明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．

Answer

（I）当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1．由此能够证明c≤1．
（Ⅱ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，知2a=f（1）+f（-1）-2f（0）．又由|x|≤1时，|f（x）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1．由此能够证明|a|≤2．
（Ⅲ）由f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c．由．由一次函数的单调性能够证明|g（x）|≤2λ．
【解析】
（I）∵当|x|≤1时，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由
∴=
=，
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴，
∴．