Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：
①且（n∈N^*，n≥2）；
②且．（其中O为坐标原点）
（I）求向量及向量的坐标；
（II）设，求a_n的通项公式并求a_n的最小值；
（III）对于（Ⅱ）中的a_n，设数列，S_n为b_n的前n项和，证明：对所有n∈N^*都有．

Answer

（I）利用向量加法的三角形法则的推广，及已知条件①且（n∈N*，n≥2）；
②且．得到 及 的坐标；
（II），利用基本不等式可求an的最小值；
（III）当n=1，2，3，…时，=1，0，1，0，…从而Sn=b1+b3+b5+b7+…，根据数列，从而可得=，进而可证．
【解析】
（I）由题意，=；
（II）；

即an的最小值为a1=2
（III）当n=1，2，3，…时，=1，0，1，0，…
从而Sn=b1+b3+b5+b7+…，又b1=1，，b5=1，当n≥7时，=∴Sn=b1+b3+b5+b7+…=b1+b3+b5+[b7+b11+b15+…]+[b9+b13+b17+…]