Question

（1）求证：C_n-1^m+C_n-1^m-2+2C_n-1^m-1=C_n+1^m；
（2）设（1-x）²⁰⁰⁴=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀₄x²⁰⁰⁴，其中，a，a₁，a₂，…，a₂₀₀₄是常数，求：（a+a₂+a₄+…+a₂₀₀₄）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₀₃）²的值．

Answer

（1）利用组合数的性质：Cnm+Cnm-1=Cn+1m得到Cn-1m+Cn-1m-2+2Cn-1m-1=（Cn-1m+Cn-1m-1）+（Cn-1m-1+Cn-1m-2得证．
（2）将（a+a2+a4+…+a2004）2-（a1+a3+a5+…+a2003）2的利用平方差公式展开，令（1-x）2004=a+a1x+a2x2+…+a2004x2004的x分别取1，-1，代入上式，求出待求的值．
【解析】
（1）证明：Cn-1m+Cn-1m-2+2Cn-1m-1=（Cn-1m+Cn-1m-1）+（Cn-1m-1+Cn-1m-2）=Cnm+Cnm-1=Cn+1m
所以Cn-1m+Cn-1m-2+2Cn-1m-1=Cn+1m；
（2）令x=1，则有，
令x=-1则有，

所以：（a+a2+a4+…+a2004）2-（a1+a3+a5+…+a2003）2=1．