Question

甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束．
（1）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；
（2）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；
（3）求甲取得比赛胜利的概率．

Answer

（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲胜乙的概率和甲胜丙的概率得到甲胜利的概率，即只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率．
（2）只进行两局比赛，比赛就结束包含两种情况，一是甲胜乙且甲胜丙，二是乙胜甲且乙胜丙，这两个事件是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到结果．
（3）甲取得比赛胜利共有三种情形：若甲胜乙，甲胜丙；若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙；若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
【解析】
（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
∵甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为
∴只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：
（2）只进行两局比赛，比赛就结束包含两种情况，
一是甲胜乙且甲胜丙，二是乙胜甲且乙胜丙，
这两个事件是互斥的
∴概率为：
（3）甲取得比赛胜利共有三种情形：
若甲胜乙，甲胜丙，则概率为；
若甲胜乙，甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为；
若甲负乙，则乙负丙，甲胜丙，甲胜乙，概率为
∴甲获胜的概率为