Question

双曲线M的中心在原点，并以椭圆=1的焦点为焦点，以抛物线y²=-2x的准线为右准线．
（1）求双曲线M的方程；
（2）设直线l：y=kx+3与双曲线M相交于A、B两点，O是原点．求k值，使•=0．

Answer

（1）由题意可得所求的双曲线的半焦距 ，准线为：x=从而可得 ，可求双曲线M的方程
（2）设直线l与双曲线M的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）、联立方程组 消去y（k2-3）x2+6kx+18=0，设A（x1，y1）B（x2，y2）、则k2-3≠0，△=36k2-4（k2-3）×18＞0，解可得，，从而有 ，由 ，则有x1x2+y1y2=0，可求k．
【解析】
（1）由题设知，椭圆的半焦距为：，…..（1分）
又抛物线的准线为：．…..（2分）
设双曲线M的方程为，依题意有，…..（3分）
故，又b2=c2-a2=12-3=9．…..（4分）
∴双曲线M的方程为．…..（5分）
（2）设直线l与双曲线M的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点
联立方程组消去y得  （k2-3）x2+6k+18=0，…..（7分）
∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，
∴k2-3≠0…..（8分）
∴△=（6k）2-4（k2-3）×18＞0，从而有
，．…（9分）
又y1=kx1+3，y2=kx2+3
∴
…..…..（11分）
若•=0，则有 x1x2+y1y2=0，即⇒k2=1⇒k=±1．
∴当k=±1时，使得•=0．…..（13分）