Question

设常数c≠0，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=a_n+c，已知a₂、a₄、a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由题设知{an}是首项为1，公差为c的等差数列，由a2，a4，a8成等比数列，知（1+3c）2=（1+c）（1+7c），由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由an=n，知=n•pn，p＞0．Tn=p+2p2+3p3+…+（n-1）pn-1+npn，当p=1时，用等差数列求和公式进行求解；当p≠1时，用错位相减求和法进行求解．
【解析】
（1）∵常数c≠0，数列{an}满足：a1=1，an+1=an+c，
∴{an}是首项为1，公差为c的等差数列，
∵a2，a4，a8成等比数列，
∴（1+3c）2=（1+c）（1+7c），
解得c=1，或c=0（舍）．
∴an=1+n-1=n．
（2）∵an=n，
∴=n•pn，p＞0．
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=p+2p2+3p3+…+（n-1）pn-1+npn，
（i）当p=1时，
Tn=1+2+3+…+n
=．
（ii）当p≠1时，
由Tn=p+2p2+3p3+…+（n-1）pn-1+npn，①
得pTn=p2+2p3+3p4…+（n-1）pn+npn+1，②
①-②，得（1-p）Tn=p+p2+p3+…+pn-1+pn-npn+1
=，
∴．