Question

在数列{a_n}中，a₁=1，，设b_n=a_2n-2，S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n+a_2n+1，试比较S_n与T_n的大小．

Answer

（1）a2=，a2n==，由bn=a2n-2，能导出{bn}的通项公式．
（2）由，知Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|==1-．由a2n+1=a2n-2（2n）=a2n-4n，a2n+a2n+1=2a2n-4n=2（bn+2）-4n=2bn-4（n-1），知Tn=a1+（a2+a3）+…+（a2n+a2n+1）=1+2b1+…+[2bn-4（n-1）]=1+2（b1+b2+…+bn）-4[1+2+…+（n-1）]=．由此能够导出Sn＞Tn．
【解析】
（1）a2=，a2n==+2n-1=，∵bn=a2n-2，
∴b1=a2-2=1.5-2=-0.5，
bn-1=a2n-2-2，即a2n-2=cn-1+2

=
=，
所以{bn}是首项为b1=-0.5，公比为q=的等比数列其通项公式为．
（2）∵，
∴Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|
=
=
=1-．∵a2n+1=a2n-2（2n）=a2n-4n，a2n+a2n+1=2a2n-4n=2（bn+2）-4n=2bn-4（n-1），∴Tn=a1+a2+a3+…+a2n+a2n+1=a1+（a2+a3）+…+（a2n+a2n+1）=1+2b1+…+[2bn-4（n-1）]=1+2（b1+b2+…+bn）-4[1+2+…+（n-1）]=1+2×-2n（n-1）=1+-2n（n-1）=．
∴Sn＞Tn．