Question

定义域在R上的函数f（x）对于任意的x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=3，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性和奇偶性；
（2）解不等式：f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）．

Answer

（1）令x=y=0，求出f（0），再令y=-x，即可判断出奇偶性；利用函数单调性的定义，设任意x1，x2∈R且x1＜x2，结合已知不等式比较f（x1）和f（x2）的大小，即可判断出单调性．
（2）根据f（2）=3，可求6=f（2）+f（2）=f（4），所以不等式可化为：f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4），利用函数的单调性得|x-5|-|2x+3|＜4，利用零点分段，从而可解不等式．
【解析】
（1）令x=y=0，则f（0）=0
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴y=f（x）为奇函数．
任取x1＜x2，则x2-x1＞0．f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）
∵x2-x1＞0∴f（x2-x1）＞0
∴f（x2）＞f（x1）
∴y=f（x）在R上增函数
（2）∵f（2）=3
∴6=f（2）+f（2）=f（4）
∴f（|x-5|）-6＜f（|2x+3|）
∴f（|x-5|-|2x+3|）＜f（4）
∴|x-5|-|2x+3|＜4
∴

综上知，．