Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，
（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通项公式；
（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范围．

Answer

（1）由an+1=Sn+3n，可得Sn+1-Sn=Sn+3n，Sn+1=2Sn+3n，进而可得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n），即bn+1=2bn，结合等比数列的通项公式可求
（2）由（1）可得，Sn-3n=（a-3）•2n-1．n≥2，从而可求an=2•3n-1+（a-3）•2n-2，然后只要判断an+1-an≥0是否成立
【解析】
（1）∵an+1=Sn+3n，∴Sn+1-Sn=Sn+3n，
∴Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）
即bn+1=2bn，b1=S1-3=a-3，
∴bn=（a-3）•2n-1，
（2）由（1）可得，Sn-3n=（a-3）•2n-1．n≥2
an=2•3n-1+（a-3）•2n-2，an+1-an=2（3n-3n-1）+（a-3）（2n-1-2n-2）
=4•3n-1+（a-3）•2n-2≥0

当n≥2时，，∴a-3≥-12，a≥-9
而a2-a1=6+（a-3）-a=3＞0，∴a≥-9时，an+1≥an恒成立．