Question

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．
（1）若，求tanθ的值；
（2）设点D（1，0），求的最大值；
（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．

Answer

（1）由已知中A（-2，0），，C（2cosθ，sinθ），我们可以计算出向量的坐标，进而由，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及求出其最大值．
（3）由点E的坐标，我们可以求出向量的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将表示成θ的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．
【解析】
（1）由已知，得，，…（2分）
因为，所以，．…（3分）
（2）由已知，，，…（5分）
又，…（6分）
所以，当θ=0时，取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知，，
所以，，
设t=cosθ，…（10分）
当，即时，f（a）=2a-4，
当，即时，f（a）=-1，
所以，…（12分）
因为当时，，当时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）