Question

已知函数f（x）=ax³+x²+（3a+1）x （x∈R），f（x）在x=2处取得极值
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）先求导函数，再根据f（x）在x=2处取得极值，从而进而确定函数的表达式；
（2）由（1）知，f'（x）=-x2+2x，由f'（x）≥0求得增区间，由f'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．
【解析】
（1）由题意得f′（x）=3ax2+2x+3a+1
∵f（x）在x=2处取得极值
∴f/（2）=0，∴
∴
（2）由（1）知，f'（x）=-x2+2x，令f'（x）=0
解得 x1=0，x2=2
从而f（x）在区间（-∞，0），（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数，
计算可知：极值f（0）=0，f（2）=，区间端点值为
则f（x）在区间[-1，3]上的最大值为和最小值0．