Question

已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R且a≠0），
（1）当时，f（sinx）的最大值为，求f（x）的最小值．
（2）若时，|f（sinx）|≤1恒成立，求a的范围．

Answer

（1）由题意得：，令t=sinx∈[-1，1]则，根据二次函数的性质得：当t=1即时，f（sinx）有最大值，
可得，进而求出二次函数的解析式，即可得到函数的最小值．
（2）由题意得：-1≤asin2x+sinx≤1，令t=sinx则t∈[0，1]，可得-1≤at2+t≤1对任意t∈[0，1]恒成立，分别讨论：当x=0时（此时显然成立）与当x≠0时，对任意t∈[0，1]恒成立，再利用二次函数的性质分别求出两个函数的最值，进而得到答案．
【解析】
（1）由题意可得：，
∴．
令t=sinx∈[-1，1]则，
∴根据二次函数的性质可得：当t=1即sinx=1（k∈Z）时，f（sinx）有最大值，
∴
所以，
所以fmin（x）=f（2）=-1．
（2）由|f（sinx）|≤1得：-1≤asin2x+sinx≤1，
令t=sinx则t∈[0，1]，
∴-1≤at2+t≤1对任意t∈[0，1]恒成立
当x=0时，f（t）=0使|f（sinx）|≤1成立
当x≠0时，对任意t∈[0，1]恒成立，
∵t∈[0，1]，
∴则；，
∴-2≤a≤0，
故a的范围[-2，0]．