Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a、b为实常数），已知不等式|f（x）|≤|x²+x-2|对一切x∈R恒成立；定义数列{a_n}满足：．
（1）求a、b的值；
（2）求证：  （n∈N^*）．

Answer

（1）由|f（x）|≤|x2+x-2|=|（x+2）（x-1）|知a=1，b=-2，由此可知f（x）；
（2）先验证：当n=1时，1=成立；再考察：当n≥2时利用条件得出：从而最后结合放缩法即可证得结论．
【解析】
（1）由|f（x）|≤|（x+2）（x-1）|得f（-2）=0，f（1）=0，
故a=1，b=-2，∴f（x）=x2+x-2；
（2）当n=1时，1=成立
当n≥2时，
∴an=（+）2+＞=（+）2，
∴
∴当n≥2时，
++…++

∴
又an=a n-1++1＜a n-1+1+
=+an-1，（n≥2）
从而an+3＜（a n-1+3）
∴当n≥2时，
an+3＜（）2（a n-2+3）＜…＜（）n-1（a1+3）=5（）n-1
∴an≤5（）n-1-3
所以n∈N*时，