Question

若p₁p₂=2（q₁+q₂），证明：关于x的方程x²+p₁x+q₁=0与方程x²+p₂x+q₂=0中，至少有一个方程有实数根．

Answer

至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程x2+p1x+q1=0与方程x2+p2x+q2=0中都没有实数根，此种方法称为反证法．
【解析】

假设原命题不成立，
即x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0
∴△1=p12-4q1＜0
△2=p22-4q2＜0
两式相加得：
p12+p22-4q1-4q2＜0
p12+p22＜4（q1+q2）
又p1p2=2（q1+q2）
∴p12+p22＜2p1p2
即：（p1-p2）2＜0
显然不成立
故假设不成立，原命题是正确的