Question

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）为二次函数．当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）是奇函数，求f（x）的解析式．

Answer

待定系数法设出f（x）的解析式，利用奇函数的定义F（x）=-F（-x）建立方程组解得a，c；
由于f（x）的对称轴含字母，所以通过分类研究f（x）在闭区间上的最值问题从而求得b．
【解析】
设f（x）=ax2+bx+c，所以令F（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x2+bx+c-3
因为F（x）为奇函数，所以F（x）=-F（-x），即（a-1）x2+bx+（c-3）=-（a-1）x2+bx-（c-3）
所以：
所以：a=1且c=3，此时f（x）=x2+bx+3．
①当-＜-1      即b＞2时，函数f（x）在[-1，2]上为增函数，故f（-1）=1得b=3
②当-＞2       即b＜-4时，函数f（x）在[-1，2]上为减函数，故f（2）=1得b=-3但与b＜-4矛盾，舍去
③当   即-4≤b≤2时，函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，所以，解得：或（舍）
综上所述，b=3或b=-2，所以f（x）=x2+3x+3或f（x）=x2-2x+3．