Question

弦AB经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则下列叙述中，错误的选项是（ ）
A．当AB与x垂直时，|AB|最小
B．|AB|=x₁+x₂+p
C．以弦AB为直径的圆与直线相离
D．y₁y₂=-p²

Answer

根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x1+x2，x1x2进而得出y1y2根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=2p（1+），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．
解；焦点F坐标（ ，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-）
联立y2=2px得k2x2-（pk2+2p）x+=0
由韦达定理得x1+x2=p+  x1x2=
∴y12y22=4p2x1x2=p4   y1y2=-p2 ∴D正确
|AB|=x1+x2+=x1+x2+p=2p+=2p（1+）∴B正确
因为k=tana，所以1+=1+=
所以|AB|=
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C