Question

已知函数f（x）=log₂（x+m），m∈R
（ I）若f（1），f（2），f（4）成等差数列，求m的值；
（ II）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）把x=1，2及4代入函数解析式，表示出f（1），f（2），及f（4），由f（1），f（2），f（4）成等差数列，根据等差数列的性质列出股关系式，利用对数的运算法则化简，即可求出m的值；
（2）f（a）+f（c）小于2f（b），理由为：根据a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，设出公差为d，用b和d表示出a及c，要比较f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，可利用作差法进行，方法是表示出f（a）+f（c）-2f（b），利用对数的运算法则化简后，真数的分子减分母利用多项式的乘法法则整理后，将表示出的a与c代入，根据d不为0，得到完全平方式大于0，可得其差小于0，即分子小于分母，可得真数小于1大于0，根据底数为2，利用对数函数的图象与性质可得对数值小于0，即f（a）+f（c）-2f（b）小于0，即可得证．
【解析】
（1）因为f（1），f（2），f（4）成等差数列，所以2f（2）=f（1）+f（4），
即：2log2（2+m）=log2（1+m）+log2（4+m），即log2（2+m）2=log2（1+m）（4+m），得
（2+m）2=（1+m）（4+m），得m=0．
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，
设a=b-d，c=b+d，（d不为0）；
f（a）+f（c）-2f（b）=log2（a+m）+log2（c+m）-2log2（b+m）=log2
因为（a+m）（c+m）-（b+m）2=ac+（a+c）m+m2-（b+m）2=b2-d2+2bm+m2-（b+m）2=-d2＜0
所以：0＜（a+m）（c+m）＜（b+m）2，
得0＜＜1，得log2＜0，
所以：f（a）+f（c）＜2f（b）．