Question

二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），它的导函数的图象与直线y=2x平行．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=xf（x）-x的图象与直线y=m有三个公共点，求m的取值范围．

Answer

（I）先设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根据f（0）=2求出c，然后根据f（x）=f（-2-x）可得对称轴，导函数图象与直线y=2x平行可求出a，从而求出函数的解析式；
（II）先利用导数求出函数的极值，然后根据函数g（x）=xf（x）-x的图象与直线y=m有三个公共点，可知m的取值范围应介于两极值之间．
【解析】
（I）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵
导函数图象与直线y=2x平行∴2a=2，从而解得：a=1，b=2，c=2∴f（x）=x2+2x+2（x∈R）
（II）∵g（x）=xf（x）-x=x3+2x2+x∴g（x）=3x2+4x+1
设∴g（x）在（-∞，-1]、上递增，在上递减
且g（x）极大值，
故m的取值范围为