Question

已知等比数列{a_n}，首项a₁是的展开式中的常数项，公比，且t≠1．
（1）求a₁及m的值；
（2）化简C_n¹•S₁+C_n²•S₂+…+C_nⁿ•S_n，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）若b_n=C_n•a₁+C_n¹•a₂+C_n²•a₃+…+C_nⁿ•a_n+1，时，证明b_n＜3，对任意n∈N*成立．

Answer

（1）在展开式的通项公式 Tr+1= 中，令，得r=1，可得a1 的值．由可得整数m的值．
（2）由（1）可得an=tn-1，进而得到，要求的式子即，提取公因式裂项求和，可得结果．
（3）先利用＜ 证明bn＜，再利用，进而证得bn＜，
从而得到bn＜3．
【解析】
（1）展开式的通项公式 =，
令，∴r=1，∴．
由 可得 ，∴m=4．（3分）
（2）由（1）知=t，an=tn-1．
∴，
 故  Cn1•S1+Cn2•S2+…+Cnn•Sn =
= 
=
=． （6分）
（3）当n≥2时，===＜3．
当n=1时，bn=2＜3成立，
∴对任意n∈N*，bn＜3成立． （4分）