Question

给出以下命题：
（1）若，则f（x）＞0；  
（2）；
（3）应用微积分基本定理，有，则F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

（1）根据微积分基本定理，得出）∫baf（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到与f（x）正负无关．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为∫πsinxdx+∫π2π（-sinx）dx求解，判断．
（3）根据函数导数运算性质，应有  F（x）=lnx+c  （c为常数）．
（4）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（a+T）=F（a），F（T）=F（0）判定．
【解析】
（1）由∫baf（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）错误．
（2）∫2π|sinx|dx=∫π|sinx|dx+∫π2π|sinx|dx=∫πsinxdx+∫π2π（-sinx）dx=（-cosx）|π+cosx|π2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正确．
（3）根据函数导数运算性质，若F′（x）=，应有  F（x）=lnx+c  （c为常数），（3）错误．
（4）∫af（x）dx=F（a）-F（0），∫Ta+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即；（4）正确．
正确命题的个数为2，
故选B．