在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（...

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使 manfen5.com 满分网

、

成等比数列，求

的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断 manfen5.com 满分网

是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

（1）依题意可知直线过定点，要求使圆O的面积最小，则定点在圆上，求出半径即可求圆的方程．（2）求出A、B两点的坐标，设P的坐标，、、成等比数列，得到相等关系式，P在圆内，得到不等式，可求数量积的范围．（3）依题意表示，得到等价关系即三角形面积，容易确定圆上的点到已知线段的最大距离．可求出直线l的方程．【解析】（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，所以圆O的方程为x2+y2=25．（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x，y），则x2+y2＜25 ①，，由成等比数列得，，即，整理得：，即② 由①②得：，，∴ （3） =．由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），直线lMQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S△MQN有最大值32．即有最大值为64，此时直线l的方程为2x-y-5=0．

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考点分析：

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已知圆C₁：x²+y²=1，圆C₂：（x-4）²+y²=4
（1）判断两圆位置关系；
（2）若直线l为过点P（3，0）且与圆C₁相切的直线，求直线l的方程；
（3）在x轴上是否存在一定点Q（m，0），使得过Q点且与两圆都相交的直线被两圆所截得的弦长始终相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．