Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点E、D分别是AC、PC的中点，EP⊥底面ABC．
（1）求证：ED∥平面PAB；
（2）求直线AB与平面PAC所成的角；
（3）当k取何值时，E在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer

（1）欲证ED∥平面PAB，只需证明ED平行平面PAB内的一条直线即可．根据中位线的性质，可知DE∥PA，而DE是平面PAB内的一条直线，所以ED∥平面PAB．
（2）直线AB与平面PAC所成的角，也即直线AB与它在平面PAC的射影所成的角，利用EP⊥底面ABC得到面PAC⊥面ABC，可知∴∠BAC为线AB与平面PAC所成的角，在放入等腰直角三角形ABC中解出该角即可．
（3）若E的射影恰好为△PBC的重心G，连接PG并延长交BC于点M，则EM⊥BC，可证PA=PB=PC，因为AB=BC=kPA，把AB，BC用PA表示，在直角三角形PEM和直角三角形PBM中用勾股定理解出PM，MG，可得k的值．
【解析】
（1）∵E、D是中点，∴DE∥PA∴DE∥面PAB
（2）∵PE⊥面ABC∴面PAC⊥面ABC，且面PAC∩面ABC=AC
∴若过B做平面PAC的垂线，则垂足必落在AC上，
∴∠BAC为线AB与平面PAC所成的角．
又∵AB⊥BC，AB=BC，∴∠BAC=45°
即直线AB与平面PAC所成的角为45°．
（3）∵点E是AC的中点，EP⊥底面ABC，∴PA=PB
若E的射影恰好为△PBC的重心G，连接PG并延长交BC于点M，则EM⊥BC
∴PB=PC=PA，设PA=2a，
则AB=BC=2ka，，EM2=PM•MG
∴解得k=1