Question

设f（x）是定义在R上的函数，且
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x）=x，求g（x）．

Answer

（1）将f（x）=1代入g（x），然后利用二项展开式的形式逆用求出g（x）的值．
（2）将f（x）=x代入g（x），因为代入g（x）将其提出x，利用二项展开式的形式逆用求出g（x）．
【解析】
（1）f（x）=1，则g（x）=Cn（1-x）n+Cn1•x•（1-x）n-1+…+Cnn•xn•（1-x）=（1-x+x）n=1
∵式子有意义，则x≠0且x≠1，
∴g（x）=1（x≠0且x≠1）
（2），
∴+…+Cnn•1•xn•（1-x）
又∵
g（x）=Cn-1•x•（1-x）n-1+Cn-11•x2•（1-x）n-2+Cn-12•x3•（1-x）n-3+…+Cn-1k-1•xk•（1-x）n-k+…+Cn-1n-2•xn-1•（1-x）+xn
=x•[Cn-1•（1-x）n-1+Cn-11•x•（1-x）n-2+…+Cn-1n-2•xn-2•（1-x）+Cn-1n-1•xn-1]
=x（1-x+x）n-1
=x
故g（x）=x，且x≠0，x≠1