Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，0），斜率为k，当k为何值时，直线与抛物线：
（1）只有一个公共点；
（2）有两个公共点；
（3）没有公共点．

Answer

由题意可设直线方程为：y=k（x+2），联立方程可得，整理可得k2x2+4（k2-1）x+4k2=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根
【解析】
由题意可设直线方程为：y=k（x+2）
联立方程可得，整理可得k2x2+4（k2-1）x+4k2=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）没有根
①k=0时，x=0符合题意
②k≠0时，△=16（k2-1）2-16k4=0
∴
综上可得，，
（2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根
∴
∴
即
（3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根
解不等式可得，