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如图所示,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点...

如图所示,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,2)为抛物线内一定点,点P为抛物线上一动点,|PA|+|PF|的最小值为8.
(1)求抛物线方程;
(2)若O为坐标原点,问是否存在点M,使过点M的动直线与抛物线交于B,C两点,且以BC为直径的圆恰过坐标原点,若存在,求出动点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)如图,设抛物线的准线为l,过P作PB⊥l于B,过A作AC⊥l于C,由抛物线定义知当且仅当A,P,C三点共线取等号.由题意知|AC|=8,从而求得p值,最后写出抛物线的方程; (2)假设存在点M,设过点M的直线方程为y=kx+b,对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在点M,设过点M的直线方程为y=kx+b,再利用以BC为直径的圆恰过坐标 原点,求出点M的坐标,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在. 【解析】 如图,设抛物线的准线为l,过P作PB⊥l于B,过A作AC⊥l于C, (1)由抛物线定义知|PF|=|PB|⇒|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|(折线段大于垂线段),当且仅当A,P,C三点共线取等号.由题意知|AC|=8,即⇒抛物线的方程为:y2=16x (2)假设存在点M,设过点M的直线方程为y=kx+b, 显然k≠0,b≠0,设B(x1,y1),C(x2,y2),由以BC为直径的圆恰过坐标 原点有⇒x1x2+y1y2=0① 把y=kx+b代入y2=16x得k2x2+2(bk-8)x+b2=0 由韦达定理.② 又y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+bk(x1+x2)+b2.③ ②代入③得.④ ②④代入①得⇒动直线方程为y=kx-16k=k(x-16)必过定点(16,0) 当kBC不存在时,直线x=16交抛物线于B(16,-16),C(16,16),仍然有, 综上:存在点M(16,0)满足条件.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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