Question

已知函数f（x）=x³-3ax+2，其中a＞0
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求a的范围，使得方程x³-3ax+2=0有①唯一实根   ②三个不相等的根．

Answer

（1）求导，令导数等于零，解方程，根据导数的符号与函数单调性的关系即可求出f（x）的单调区间与极值；
（2）方程x3-3ax+2=0有①唯一实根，只要极大值小于零或极小值大于零即可，解此不等式即可求得结果；方程x3-3ax+2=0有②三个不相等的根，只要极大值大于零且极小值小于零即可，解此不等式组即可求得结果．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-3a，由f′（x）=0得x=

x （-∞，） （，） （，+∞）
f′（x） + - +

∴f（x）的递增区间（-∞，），（，+∞）递减区间为（，），
f极大值=f（）=2a+2，f极小值=f（）=-2a+2；
（2）①要使方程有唯一实根，应有2a+2＜0或-2a+2＞0
解得0＜a＜1 即当a∈（0，1）方程有唯一的实根
②当方程有三个不相等的根时应有-2a+2＜0＜2a+2，
解得a＞1，即当a∈（1，+∞）时方程有三个不相等的实根．