Question

若存在常数L，使得对任意x₁，x₂∈I且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，则称函数f（x）在区间I上满足L-条件．
（1）求证：正弦函数f（x）=sinx在开区间上满足L-条件；
（2）如果存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上是否满足L-条件？若满足，给出证明；若不满足，举出反例．

Answer

（1）由f（x）=sinx在上递增可得式子|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|等价与sinx2-sinx1≤Lx2-Lx1，进而可得结论成立．（2）存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上满足L-条件，只要证明对任意x1，x2∈I且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤M|x1-x2|即可．
（1）证明：要证存在常数L，使对任意x1，，都有|f（x1）-f（x2）|≤L|x1-x2|．
不妨设x1＜x2，∵f（x）=sinx在上递增，∴上式等价于sinx2-sinx1≤Lx2-Lx1，
即sinx1-Lx1≥sinx2-Lx2，
转化为证明存在常数L，使函数F（x）=sinx-Lx在上递减，再转化为证明在上，
F'（x）=cosx-L≤0恒成立，即cosx≤L恒成立，
由于在上，恒有cosx≤1，故取L=1即可，证毕．
（2）如果存在实数M，使得|f'（x）|≤M在区间I上恒成立，那么函数f（x）在I上满足L-条件，
即对任意x1，x2∈I且x1≠x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤M|x1-x2|（*），这里L=M．证明如下：
不妨设x1＜x2，按f（x1）与f（x2）的大小关系分类：
2f（x1）=f（x2）3时，（*）4显然成立；
②当f（x1）＜f（x2）时，考虑函数G（x）=f（x）-Mx，x∈I，
由于-M≤f'（x）≤M，故G'（x）=f'（x）-M≤0，从而G（x）在I上递减，
又x1＜x2，所以G（x1）≥G（x2），即f（x1）-Mx1≥f（x2）-Mx2，
亦即f（x2）-f（x1）≤M（x2-x1），也就是（*）成立；
③当f（x1）＞f（x2）时，类似②，考虑函数H（x）=f（x）+Mx（x∈I）即可．（9分）
综上所述，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，都有（*），所以函数f（x）在I上满足L-条件．
另【解析】
利用Lagrange中值定理，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，存在ξ∈I，使，于是，即|f（x1）-f（x2）|≤M|x1-x2|．