Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点C满足，其中m，n∈R且m-2n=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

Answer

（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得从而又e得出．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可．
【解析】
（1）设C（x，y），∵
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，-2）．
∴∵m-2n=1，
∴x+y=1
即点C的轨迹方程为x+y=1（15分）
（2）由得（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0
由题意得（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=．即b2-a2-2a2b2=0．
∴为定值．（14分）
（3）∵
∴
∵e∴．
∴
解得：0＜a≤，0＜2a≤1
∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．