Question

设定义在R上的函数f（x）存在反函数，且对于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-4）=2，则f^-1（2011-x）+f^-1（x-2009）=    ．

Answer

由换元得f（t）+f（-t-3）=2，注意（2011-x ）与 （x-2009 ）的和等于2，若（2011-x ）与 （x-2009 ）一个是t，则另一个是-t-3，再应用反函数的定义解出 t 和-t-3．
【解析】
∵f（x+1）+f（-x-4）=2，∴f（t）+f（-t-3）=2，
令 2011-x=m，x-2009=n，∴m+n=2，
∴可令 f（t）=m，f（-t-3）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t-3=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-3，
即：f-1（2011-x）+f-1（x-2009）的值是-3，
故答案为：-3．