如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以...

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距离；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大小．

（Ⅰ）根据等腰直角三角形，可得AM⊥C1M且AM=C1M，根据三垂线定理可知AM⊥CM，而底面ABC为边长为a的正三角形，则即可证得点M为BC边的中点；（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，根据线面垂直的判定定理可知AM⊥平面C1CM，CH⊥平面C1AM，则CH即为点C到平面AMC1的距离，根据等面积法可求出CH的长；（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI，根据三垂线定理可知HI⊥AC1，根据二面角的平面角的定义可知∠CIH是二面角M-AC1-C的平面角，在直角三角形ACC1中利用等面积法可求出CI，即可求出二面角M-AC1-C的大小．【解析】（Ⅰ）∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴AM⊥C1M且AM=C1M ∵三棱柱ABC-A1B1C1，∴CC1⊥底面ABC ∴C1M在底面内射影为CM，AM⊥CM． ∵底面ABC为边长为a的正三角形， ∴点M为BC边的中点（Ⅱ）过点C作CH⊥MC1，由（Ⅰ）知AM⊥C1M且AM⊥CM， ∴AM⊥平面C1CM∵CH在平面C1CM内， ∴CH⊥AM， ∴CH⊥平面C1AM 由（Ⅰ）知， ∴ ∴ ∴点C到平面AMC1的距离为底面边长为（Ⅲ）过点C作CI⊥AC1于I，连HI， ∵CH⊥平面C1AM， ∴HI为CI在平面C1AM内的射影， ∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M-AC1-C的平面角，在直角三角形ACC1中， ∴∠CIH=45°， ∴二面角M-AC1-C的大小为45°

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等