Question

已知数列{a_n}满足a_n=3ⁿ-1（n∈N^*），是否存在等比数列{b_n}使得a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ对一切的n都成立？并证明你的结论．

Answer

可令n=1，2，3，求得b1，b2，b3，由此猜想bn，构造函数f（x）=（1+x）n，（n∈N*），令x=2，由二项式定理展开即可证明结论．
【解析】
当n=1时，a1=b1=2
当n=2时，a2=b1C21+b2C22=8⇒b2=4
当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33=26⇒b3=8
从而猜想bn=2n，现在证明：（4分）
∵（1+2）n=Cn+Cn1•21+Cn2•22+…+Cnn•2n而Cn=1
∴3n-1=Cn1•21+Cn2•22+…+Cnn•2n，
故存在等比数列{bn}（bn=2n）使得an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切的n都成立．