Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=，且S_n=n²a_n-n（n-1），（n∈N）
（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ⁺¹，b_n=f′_n（a）（a∈R，n∈N），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ） 由 an=Sn-Sn-1 （n≥2），结合条件可得 =1，结论得证．
（Ⅱ）求出数列{bn}的通项公式，分类讨论，用错位相加法求它的和 Tn．
【解析】
（Ⅰ）由 an=Sn-Sn-1 （n≥2），及 Sn=n2an-n（n-1）得 
Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），即  （n2-1 ）Sn-n2Sn-1=n（n-1），
∴=1，∴{}是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）故由（I）得 =1+（n-1）=n，∴Sn=．
∵fn（x）=xn+1 =，∴f′n（x）=nxn，∴bn=nan，
∴Tn=a+2a2+3a3+A+nan   ①．
当a=0 时，Tn=0； 当a=1时，Tn=1+2+3+A+n=；
当 a≠1时 aTn=a2+2a3+3a4+A+nan+1   ②，
由①-②得（ 1-a）Tn=a+a2+a3+A+an-nan+1=，
∴Tn=．
综上得 Tn=．