Question

已知a＞0，函数f（x）=+lnx．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=时，求f（x）的最小值；
（Ⅲ）当a=1时，设数列{}的前n项和为S_n，求证：S_n-1＜f（n）-＜S_n-1（n∈N且n≥2）．

Answer

（Ⅰ）先求出f’（x），利用它是单调增函数，得含参的不等式然后利用恒成立问题求得a的范围．
（Ⅱ）将a的值代入得f（x）的表达式，然后用求导的方法判断其单调性，从而求出函数f（x）的最小值．
（Ⅲ）先构造两个不等式，并给出证明，然后将x=1，2，…，n-1代入不等式，化简即证．
【解析】
（1）∵若f（x）在x∈[1，+∞）是单调递增函数，
则．
即，∵x∈[1，+∞），∴，∴a≥1
（Ⅱ）当a=时，，
由f'（x）＜0，得0＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＞2
∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数．
∴f（x）min=f（2）=ln2-1
（Ⅲ）当a=1 时，由（Ⅱ）知；在[1，+∞）上为增函数，
∵
又∵当x＞1时，f（x）＞f（1），∴
令
从而可以知道，函数g（x）在[1，+∞）上是递增函数，
所以有g（x）＞g（1）=0，即得x-1＞lnx．
综上有：1-，
∴；
令x=1，2，…，n-1，（n∈N*，且n≥2）时，不等式也成立，于是代入，
将所得各不等式相加，得
，
即．
即∴