Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分别是AC和BB₁的中点．
（1）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．
（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面QMN⊥平面A₁B₁C，并求出BQ的长度．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标与向量的坐标，再分别设出两个平面的法向量，然后利用法向量与平面上的向量数量积等于0，分别求出两个平面的一个法向量，再根据两个向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角的余弦值求出答案即可．
（2）设Q（t，0，0），由两个平面垂直得到两个平面的法向量垂直，再分别求出两个平面的法向量利用其数量积等于0即可求出t的数值，进而得到答案．
【解析】
如图建立空间直角坐标系…（1分）
（1）由题意可得：A1（2，0，2），B1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2）
所以
设平面A1CB1的法向量为，平面A1CC1的法向量为
则有（3分）
同理：（5分）
设二面角B1-A1C-C1为θ，由图形知此二面角是个锐角
所以
∴二面角B1-A1C-C1的大小为60°．…（7分）
（2）设Q（t，0，0）…（9分）
∵M（1，1，0），N（0，0，1）
∴，
设平面QMN的法向量为
即有：…（11分）
由（1）可知平面A1CB1的法向量为
∵平面QMN⊥平面A1B1C
∴，即2t-1=0，解得：，
所以在AB上存在一个点Q，使得平面QMN⊥平面A1B1C，并且．…（14分）