Question

设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求点C的轨迹E．
（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A₁M⊥A₁N，试问直线A₁N和A₂M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．

Answer

（1）设C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知，由Q是外心，且QG∥AB，能求出点C的轨迹E．
（2）由，设A1N的方程为，由A1N⊥A1M，知A1M的方程为，
代入方程得（3+k2）x2+2kx=0，由此能够推导出点P在定直线上．
【解析】
（1）设C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴，
即…（7分）
（2）由（1）可知，
设A1N的方程为，∵A1N⊥A1M
∴A1M的方程为，
代入方程得：（3+k2）x2+2kx=0，…（8分）
解得，…（10分）
代入方程
可得…（11分）
∴，
∴A2M的方程为…（13分）
∴由
∴点P在定直线上．…（15分）