Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n+a_n=1（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ） 记b_n=10+log₉a_n，求{b_n}的前n项和T_n的最大值及相应的n值．

Answer

（Ⅰ）由2sn+an=1（n∈N*）．可求得a1=，，由等比数列的定义可以证明数列an是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，当n满足时，可以求得Tn的最大值．
【解析】
（Ⅰ） 2sn+an=1，2sn-1+an-1=1（n≥2，n∈N*）相减得3an=an-1（3分）
又2s1+a1=1得∴an≠0（5分）
∴
∴数列{an}是等比数列 （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{an}是等比数列，，（10分）
当Tn最大值时  
∵n∈N*，∴n=19或n=20（12分）
∴（14分）