Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为，正数数列{b_n}的首项为c，且满足：．记数列{b_nb_n+1}前n项和为T_n．
（Ⅰ）求c的值； 
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据Sn求出a1，a2，a3，根据{an}为等比数列，确定出c的值．
（Ⅱ）根据，得到bn与bn+1的递推关系，根据特殊的数列求通项．
（Ⅲ）先求出Tn，假设满足T1，Tm，Tn成等比数列，得到n与m的关系式，再根据1＜m＜n，求出m，n的范围，根据m，n是正整数，求出m，n的值．
【解析】
（Ⅰ），，（3分）
因为{an}为等比数列所以a22=a1a3，得c=1（4分）
经检验此时{an}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵
∴
数列为等差数列   （7分）
又S1=b1=c=1，所以
所以（n∈N*）（10分）
（Ⅲ）（12分）
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列
则，所以
由n＞m＞1得且-2m2+4m+1＞0
即，所以
因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）