Question

设m＞2，给定数列{x _n }，其中x ₁=m，x_n+1=（n∈N₊），求证：x _n＞2且．

Answer

x n＞2且等价于证明2＜xn+1＜xn．结合题设条件x 1=m＞2，xn+1=（n∈N+），利用数学归纳法进行证明．
【解析】
x n＞2且等价于证明2＜xn+1＜xn．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，
∵=，
==2+，x1=m＞2，
∴2＜x2＜x1．
结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），
则=＞xk+1，
=2+＞2．
∴2＜xk+2＜xk+1，
综上所述，由①②知2＜xn+1＜xn．
∴x n＞2且．