Question

已知数列{a_n}首项a₁=1公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2，3，4项，
（1）求{a_n}{b_n}的通项公式．
（2）设数列{c_n}对任意自然数n均有成立求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式写出题中的三项，列出方程，求出首项与公差，求出通项公式；
（2）令已知条件中的等式中的n用n-1代替仿写出另一个等式，两个式子相减得到数列{cn}的通项，判断出其为等比数列，利用等比数列的前n项和求出c1+c2+…+c2007．
【解析】
（1）设等差数列第二，五，十四项分别是a1+d，a1+4d，a1+13d，
∵分别是等比数列{bn}的第2，3，4项
∴（a1+4d）2=（a1+d）（a1+13d），
解得d=2，a1=1，
所以an=2n-1，
bn=3n-1
（2）（n≥2）
又∵
∴，
cn=2•3n-1 （n≥2）
当n=1时，，
所以c1=a2b1=3
c1+c2+…+c2007=32007．