Question

（1）已知f（x）=2+log₄x（1≤x≤16），求函数g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域．
（2）若直线y=4a与y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，然后将函数化成关于log4x的二次函数，进行配方找出对称轴，而0≤log4x≤2，利用对称轴与区间的位置关系求出最值，即可求出值域．
（2）分别作出直线y=4a与y=|ax-2|（a＞0且a≠1）的图象，如图所示，由数形结合易得结果．
【解析】
（1）由已知得：

又⇒1≤x≤4，
令log4x=t，则g（x）=h（t）=t2+6t+6（0≤t≤1）
∵h（t）在[0，1]上为增函数，
∴h（t）min=h（0）=6，h（t）max=h（1）=13，
∴g（x）的值域为[6，13]．
（2）直线y=4a与y=|ax-2|（a＞0且a≠1）的图象，如图所示，
直线y=4a与y=|ax-2|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，
由数形结合易得：．