Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+）²an，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设b_n=，求；
（3）设c_n=，求证．

Answer

（1）由已知得，，构造等比数列求通项公式；（2）把（1）求得的结果代入，采用错位相减法求和即可；（3）把（1）求得的结果代入，通过对cn进行放缩，达到求和的目的，从而证明了不等式．
【解析】
（1）由已知得，，
∴是公比为2的等比数列，首项a1=2，
∴=2n，
∴an=n22n；
（2）bn==n2n，
=1•2+2•22+3•23+…+n2n，
2=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n2n+1，
∴-=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1
∴=（n-1）2n+1+2；

（3）cn==，
当n≥2时，=
∴c1+c2+c3+…+cn=+++…+
＜+++-…+＜．