Question

如图，对每个正整数n，A_n（x_n，y_n）是抛物线x²=4y上的点，过焦点F的直线FA_n交抛物线于另一点B_n（s_n，t_n）．
（Ⅰ）试证：x_ns_n=-4（n≥1）；
（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并记C_n为抛物线上分别以A_n与B_n为切点的两条切线的交点．试证：|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1．

Answer

（Ⅰ）先设直线AnBn的方程为y-1=knx，然后与抛物线方程x2=4y联立消去y得到x2-4knx-4=0，再由根与系数的关系可得到xnsn=-4，从而得证．
（Ⅱ）先根据导数求出抛物线x2=4y在An处的切线的斜率，进而可得到抛物线在An处的切线的方程，同理可得到x2=4y在Bn处的切线方程，然后两切线方程相减整理可得到交点Cn的坐标，然后结合两点间的距离公式可得到整理即可得到，又由于xn=2n可得到|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=（|x1|+|x2|+…+|xn|）+2=
，最后根据等比数列的前n项和公式可得到最后答案．
证明：（Ⅰ）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），
所以可设直线AnBn的方程为y-1=knx，
将它与抛物线方程x2=4y联立得：x2-4knx-4=0，
由一元二次方程根与系数的关系得xnsn=-4（n≥1）．
（Ⅱ）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线x2=4y在An处
的切线的斜率，
故x2=4y在An处的切线的方程为：，①
类似地，可求得x2=4y在Bn处的切线的方程为：，②
由②-①得：，，∴③
将 ③代入 ①并注意xnsn=-4得交点Cn的坐标为．
由两点间的距离公式得：=．
现在xn=2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
|FC1|+|FC2|+…+|FCn|=（|x1|+|x2|+…+|xn|）+2
=．