Question

设△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，平面向量=（cosA，cosC），
=（c，a），=（2b，0），且•（-）=o．
（1）求角A的大小；
（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sin²x的值域．

Answer

（1）由•（-）=o，结合平面向量=（cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），我们易求出A角的一个三角函数值，结合A是三角形的内角，我们易得到A的大小．
（2）根据三角函数的降次公式，我们易将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的解析式进行化简，然后根据|x|≤A，及正弦函数的性质，得到函数的值域．
【解析】
（I）∵•（-）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0
∴（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0
∴-2sinBcosA+sinB=0
∵sinB≠0
∴cosA=
又由A是三角形的内角，
∴A=
（II）f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x+•
=+sin2x-cos2x=+sin（2x-）
∵|x|≤A，A=
∴-≤x≤
∴-π≤2x-≤
∴-1≤sin（2x-）≤
∴≤+sin（2x-）≤
∴函数f（x）的值域为[，]