Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f=f（x）+f（y），
（1）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（2）若，解不等式．

Answer

（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x1＜x2，判断f（x2）＞f（x1）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＞0，取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．
证：（1）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
∴
∴f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数 （5分）
（2）【解析】
令，y=1得，
令x=2，得，
令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2
∴，
因此，，即原不等式的解集为[1+，+∞）（12分）