Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（I）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（II）若f（x）在区间[-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer

（I）由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，根据定义域和值域均为[1，a]，列出方程组即可求得a值；
（II）当f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值时不等式恒成立．由f（x）在区间（-∞，2]上是减函数得a≥2，从而函数在区间[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a2，函数的最大值是f（1），最后结合|f（x1）-f（x2）|≤4知（6-2a）-（5-a2）≤4，解得a的取值范围即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=（x-a）2+5-a2（a＞1），∴f（x）在[1，a]上是减函数，
又定义域和值域均为[1，a]，∴，即，解得 a=2．
（II）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，∴a≥2，
又x=a∈[2，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2．
∵对任意的x1，x2∈[a，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，
∴f（x）max-f（x）min≤4，∴2≤a≤3．